〜 数学・論理 〜-1
〜 ３３番の数学・論理 〜
論理、証明、帰納、対偶……数学が内臓する論理システムは、他者との共感を抜きにした相互理解を構築できる。 換言すれば、数学的な事実は、誰が何と謂おうとも事実だ。
論理学は、２０００年以上昔からあった。 古代ギリシャのアリストテレスを代表に、数多の殿方が構築してきた。 そこに数学的要素を加えたG・ライプニッツにより発展し、D・ヒルベルトらにより纏められた記号論理学とでも呼ぶべき体系が、現代論理学の姿といえよう。 ∧（かつ）、∨（または）、→（ならば）、¬（でない）、といった記号を用いた論理式で、各種命題は表現される。 述語論理を用いれば更に複雑な状況も論理化でき、∀（全称量化子）・ヨ（特称量化子）を用いた論理は二進法との相性の良さから、広く電子世界に普及した。
例えば『○は優秀である』という述語を『Smart（○）』、『○は劣等なものを支配するものである』という述語を『Control（○）』と表せば、『殿方は劣等なものを支配する』という論理は、以下の３つの論理式で、１、２から３を導く推論として記号化できる。
１：∀○（Smart（○）→Control（○）
２：Smart（殿方）
３：Control（殿方）
１７号教官が板書する例題を活用し、私たちは幾つもの命題を記号化した。 基本的には記号でもって論を進め、進め方が分かったところで『現実の諸問題』を数式化する形で授業は進む。
『論理式』には弱点がある。 あまりにも記号が増えすぎるため、図形や数字を伴う事象の証明には向いていない。 また、論理式を作ったところで、最終的に式を証明する技術がなくては何にもならない。 ゆえに私達は、常に頭の片隅で『論理式』を作りながら、それらを解決するべく論理的テクニックを平行して習得する。 いくつか学んだテクニックのうち、一部は幼年学校時代に学んだ数学的テクニックであり、一部は学園で初見の方法だった。
『対偶法』――命題P→命題Qを証明する代わりに、¬命題Q→¬命題Pを証明する。
『背理法』――命題P→命題Qを証明する代わりに、命題Ｐ∧¬命題Ｑという仮定された論理に矛盾を見つけ、論理の破たんを証明する。
『転換法』――すべての状況がＡ・Ｂ・Ｃのいずれかに分類でき、Ｘ・Ｙ・Ｚが独立な場合を想定する。 仮に『Ａ→Ｘ』『Ｂ→Ｙ』『Ｃ→Ｚ』が証明できれば、これらの逆『Ｘ→Ａ』『Ｙ→Ｂ』『Ｚ→Ｃ』も成立する。
『箱入れ論法』――『ｎ＋１』個以上のボールが『ｎ』個の箱のいずれかに入っているとき、少なくとも１つの箱には２個以上のボールが入っている。
『帰納法』――任意の自然数ｋに対し『Ｐ（ｋ）が成立するならばＰ（ｋ＋１）が成立する』ことを証明し、続いて『Ｐ（１）が成立する』ことを証明すれば、 自然数に関する命題Ｐ（ｎ）が、すべての自然数に対して成立することを証明できる。
『反例』――命題Ｐ→命題Ｑが『Ｆ（偽。Ｆａｌｓｅ）』と証明するには、命題Ｐ→¬命題Ｑとなる例を挙げればよい。
『否定』――¬（¬命題Ｐ）がＦと証明できれば、命題Ｐは『Ｔ（真。Ｔｒｕｅ）』となる。
『帰納法』や『背理法』は幼年学校で苦労して学習していたので、すんなり頭に入った。 一方『転換法』や『箱入れ論法』は、慣れない上に厄介な代物だった。 それでも１７号教官が与えてくれる例をたよりに、どうにか使えるようにはなった。